فلسفه ریاضی چیست؟
ریاضیات علمی است که در خصوص اعداد و اشکال
و مقادیر و ویژگیهای آنها و روابط بین آنها بحث میکند، و ریاضیدان کسی
است که در این زمینهها به تفحص و تحقیق میپردازد.
تفکر در خصوص اعداد و اشکال و مقادیر و ارقام و نسبتها و روابط بین آنها،
به دورانهای بسیار قدیم برمیگردد.چینیها و هندیها و مصریها و... از
جمله مردمانی هستند که در این وادی قدم نهادهاند و آنگاه فعالیت آنها
زمینه و مقدمهای برای تدوین نظاممند علم ریاضیات توسط اقلیدس در یونان
گردیده است.در همان زمانی که ریاضیات قدمهای نخستین را در خصوص بحث در
مقادیر برمیداشت و به پرسشهایی پیرامون اعداد و اشکال میپرداخت، دوش بدوش
این پرسشها، سؤالات دیگری نیز در ذهن ریاضیدانان نقش میبست که رابطه
مستقیمی با فعالیت ریاضی آنها نداشت.لیکن از یک جهت دقیقا به علم ریاضی و
مباحث آن مربوط میگشت.
ریاضیدان در فعالیت ریاضی خود مثلا به اعداد و انواع اعداد و روابط بین
اعداد از قبیل جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و غیره و یا به اشکال و ویژگیهای
هر یک از اشکال و تفاوتها و شباهتهای بین اشکال مختلف میپرداخت.لیکن
علاوه بر این پرسشها و در کنار آنها سؤالات دیگری نیز برای آنها مطرح
میشد، از قبیل اینکه عدد چیست؟آیا عدد در خارج وجود دارد؟آیا اشکال ریاضی
موجوداتی در ذهن ما هستند، یا در خارج از وجود ما تحقق دارند؟آیا روشهای
اثبات ریاضی اعتبار منطقی دارند یا نه؟و...
در واقع ریاضیدانان با دو دسته مستقل از پرسشها مواجه بودند.بخشی از پرسشها
دقیقا مربوط به خود مباحث و مسائل ریاضی بود و در درون ریاضیات مطرح و
مورد بحث واقع میشد و بخش دیگر از پرسشها مربوط به کل ریاضیات بودند و از
بیرون به ریاضیات نظر داشتند، در این دسته اخیر از پرسشها، گویی ریاضیات را
در پیش دیدگان عقل خود نهادهایم و از بیرون به مبانی و مفاهیم و قضایا و
استدلالهای آن نظر میکنیم و سؤالاتی کلی را در خصوص آنها مطرح میکنیم:
باید گفت که پرسشهای نوع اول مربوط به «ریاضیات»میشود، لیکن پرسشهای نوع دوم مربوط به«فلسفه ریاضیات»یا«فلسفه ریاضی»هستند.
بخشی از مباحثی که در این فلسفه ریاضی مورد کاوش قرار میگیرند:ماهیت اعداد
و اشکال ریاضی چیستند؟آیا مفاهیم ریاضی در خارج از ذهن دارای ما به ازاء
مستقل و مشخصی هستند؟اساسا رابطه مفاهیم و قضایای ریاضی با واقعیت چگونه
است؟ رابطه ریاضیات با علوم دیگر از قبیل فیزیک، شیمی و زیستشناسی چگونه
است؟رابطه ریاضیات و منطق چیست؟آیا میتوان مفاهیم و قضایای ریاضی را به
مفاهیم و قضایای غیر ریاضی مانند مفاهیم و قضایای منطقی تجزیه و تحویل
نمود؟ملاک صدق و کذب یا حقیقت و خطا بودن قضایای ریاضی چیست؟کیفیت آشنایی
ذهن با مفاهیم و قضایای ریاضی چگونه میباشد؟ آیا استدلالهای ریاضی دارای
ارزش منطقی هستند؟آیا مفاهیم و قضایای ریاضی معنیدار میباشند؟و...
در پاسخ به این پرسشهاست که مکاتب و دیدگاههای مختلفی به ظهور رسیدهاند و
هر یک به نوبه خود بر اساس پیش فرضهای خاص خودشان به بخشی از این پرسشها
پاسخ دادهاند.
انواع فلسفههای ریاضی:
در اینجا سعی ما بر این است تا به اهمّ این دیدگاهها پرداخته و نظریات آنها را بیان کنیم.
1-افلاطون گرایی"platonism"
این دیدگاه چنانکه از عنوان آن مشخص است، برگرفته از نظریات فیلسوف یونانی،
افلاطون میباشد.به زعم افلاطونیان امور ریاضی، اشیایی واقعی و عینی
هستند.اعداد و ارقام و اشکال و مقادیر ریاضی وجودی کاملا مستقل از شناخت و
ذهن ما دارند، وجود این ریاضی از سنخ اشیاء فیزیکی نمیباشند.
آنها خارج از فضا و زمان فیزیکی وجود دارند و اموری تغییر ناپذیر
میباشند.اینها اموری ازلی و خلق ناشده بوده و دگرگونی و نابودی
نمیپذیرند.
این اشیاء هر یک به نوبه خود اشیایی معیّن بوده و خواص ویژه خود را
دارند.هر پرسش معنیداری درباره یک شئ ریاضی، پاسخی معیّن دارد، چه ما قادر
به یافتن آن پاسخ باشیم و چه نباشیم.از نظر افلاطون ریاضیدان مانند
دانشمندی تجربی از قبیل یک زمینشناس یا زیستشناس است، او نمیتواند چیزی
از خود اختراع کند، زیرا هر چه که باید کشف شود در عالم خارج وجود
دارد.کاری که وی میتواند انجام دهد، حداکثر«کشف»چیزهاست.
برای مثال شکلی ریاضی، مانند مثلث دارای یک وجود خاص خارجی است که در وراء
زمان و مکان تحقق دارد و مانند اشیاء فیزیکی اطراف ما از قبیل سنگ و درخت و
غیره دارای ویژگیهای خاص خودش میباشد.ریاضیدانان با فرایند خاص ادراکی به
کشف این اشکال و خواص آنها نائل میآیند، همانگونه که دانشمندان تجربی در
طبیعت به کشف اشیاء خاص و ویژگیهای آنها میپردازند.
به عبارت دیگر این دیدگاه میگوید که ریاضیات قوانین خاص خود را دارد و ما
ناگزیریم از این قوانین پیروی کنیم.همین که مثلثی یا اضلاع a و b و h
ساختیم، خواهیم داشت a2+b2+h2-h2 من نوعی نمیدانم که آیا عدد 1375803627
اول است یا نه، اما این را میدانم که اول بودن یا نبودن آن به اختیار من
نیست.قبل از نوشته شدن این عدد، اول بودن یا نبودنش تعیین شده است.در بین
ریاضیدانان رنهتوم و گودال از جمله افرادی هستند که هر یک به نوعی گرایش
به این دیدگاه دارند. (1)
2-منطق گرایی"logicalism"
از نظر منطق گرایان ریاضیات شاخهای از منطق محسوب میشود.بجای آنکه منطق
ابزاری برای ریاضیات باشد، منطق پیشرو ریاضیات میشود، در این دیدگاه همه
مفاهمی ریاضی باید در قالب مفاهیم منطقی تدوین شوند و همه قضایای ریاضیات
باید بعنوان قضایای منطق بسط یابند.تمایز ریاضیات و منطق صرفا برای تسهیل
در کار صورت میگیرد، در صورتی که در نهایت آنچه مطرح میباشد فقط منطق
است. (2)
زمینه این دیدگاه را باید در آراء لایب نیتز، فیلسوف آلمانی، جست.او یکی از
بنیانگذاران منطق ریاضی بشمار میاید و معتقد بود که نظامهای ریاضی
میتوانند قالب خوبی برای مبانی تفکر باشند و ریاضیات بهترین ابزار برای
بیان اندیشهها و تفکرات بشمار میآید.نظریه اساسی لایب نیتز این بود که
حقایق ریاضی و منطق هر دو مبتنی بر اصل عدم تناقضهستند.قرابت ریاضیات و
منطق زمینهای شد برای منطق گرایان تا معتقد باشند، تمام ریاضیات را
میتوان بر مبنای تعدادی گزاره صادق منطقی بر مبنای اصول منطق بنا نمود.
(3)
تحویل و تجزیه علمی مفاهیم ریاضی به مفاهیم منطقی توسط دد کیند(1888)و
فرگه(1884- 1903)انجام شد و پئانو(1889-1908)مبادرت به بیان قضایای ریاضی
به کمک نمادگرایی منطقی نمود.از اینرو، این دانشمندان پیشگامان مکتب منطق
گرایی هستند.
بیان مفصل و تکمیلی ارجاع ریاضیات به منطق توسط وایتهد و راسل(1910-1913)در
اثر تاریخی«اصول ریاضیات»انجام گرفت.این اثر عظیم و پیچیده در صدد آن است
که به تفصیل همه ریاضیات را به منطق تحویل نماید. (4)
در توضیح این دیدگاه باید گفت، پیش از فرگه ریاضیدانان ضمن بررسیهای خود
در مورد بهم وابستگی امور ریاضی، بصورت مبهمی این امر را نشان داده بودند
که همه مفاهیم علم حساب قابل تجزیه به اعداد طبیعیاند(یعنی اعداد 1 و 2 و 3
و... که در شمارش عادی بکار میروند).در نتیجه مسأله عمدهای که برای منطق
گرایی باقی مانده بود، همانا استخراج اعداد طبیعی از مفاهیم منطقی بود.گر
چه فرگه قبلا راه حلی برای این مسأله یافته بود، مع هذا راسل و وایتهد
مستقل از او به نتایج همسانی رسیدند.لب این راه حل تشخیص صحیح حالت منطقی
اعداد طبیعی است.
به عبارت دیگر باید گفت که اعداد طبیعی در اصل نسبتهایی منطقی هستند که نه
به اشیاء بلکه به مفاهیم تعلق دارند و در زمره مفاهیم میباشند.عدد خاصی
مانند 3 بدین معنی است که سه شئ در تحت آن قرار میگیرند.اعداد در اصل
دارای مفاد و معنی منطقی هستند، مفاهیمی هستند که اشیایی در تحت مفهوم آنها
قرار میگیرند.قضایای ریاضیات هم اساسا از اصول متعارف منطقی به کمک قیاس
منطقی قابل استخراج میباشند (5) به عبارت دیگر تمامی اثباتهای ریاضی
میتوانند به یک سری عملیات مکانیکی بر روی نمادهای منطقی تحویل و تجزیه
گردند. (6)
منطق گرایی اساسا از تلاش برای تعمیق و بررسی بنیادی هر چه بیشتر در مبانی
ریاضیات ناشی شده است.کار منطق گراها این بود که ریاضیات را ابتدا بر اساس
دستگاه اعداد حقیقی تأسیس نمودند، و آنگاه دستگاه اعداد حقیقی را بر اساس
دستگاه اعداد طبیعی بنیاد نهادند و از آن پس اعداد طبیعی را که بنیاد
ریاضیات به حساب میآمد، مبتنی بر نظریه مجموعهها ساختند.و چون عناصر
منطقی در نظریه مجموعهها نقش آشکاری داش، طبیعی است که اندیشه تحویل و
ارجاع ریاضیات به منطق وارد ذهن شود، و از همین جاست که ارجاع ریاضیات به
منطق به تحقق میپیوندد.
فرآیند استخراج ریاضیات از منطق بدین صورت است که این جریان، ابتدا با
مفاهیم اولیه و گزارههای اولیه صوری که بعنوان مفاهیم و قضایای شهودی منطق
میباشند، آغاز میشود.این مفاهیم و گزارهها بعنوان توصیفهایی موجه و
فرضهایی درباره دنیای واقعی تلقی میشوند، یا حداقل چنین پذیرفته
میگردند.آنگاه مفاهیم و قضایای ریاضی از این مفاهیم و گزارههای اولیه بسط
مییابند.
این فرآیند با«حساب گزارهها»آغاز میشود و از طریق نظریههای خاصی به طرف
تأسیس دستگاه اعداد طبیعی و از آنجا به سمت همه ریاضیاتی که از دستگاه
«اعداد طبیعی»قابل استخراج است، پیش میرود. (7)
3-صورت گرایی"formalism"
جریانی در قرن گذشته شروع شد که هدفش جدا کردن مفاهیم ریاضی محض، مانند عدد
و تناظر و مجموعهای از مفاهیم ذوقی و شهودی بود که ریاضیات در طول سالهای
دراز ارتباط خود با هندسه و مکانیک بدست آورده بود، به عقیده صورت گرایان
مفاهیم دسته اخیر آن چنان در تفکر ریاضی نفوذ کردهاند ه با وجود احتیاط
فراوانی که در انتخاب کلمات بعمل میآید، مفهوم پنهان پشت سر آنها، استدلال
ما را تحت تأثیر خود قرار میدهد.زیرا که اشکال کلمات در این است که
دارای«محتوا»هستند.در صورتی که مقصود از ریاضیات آن است که صورت محض از
تفکر بوجود آورد.
اما چگونه میتوان از کاربرد زبان بشری اجتناب جست؟جواب این سؤال را در
کلمه«علامت»یا «سمبول»(symbol)میتوان یافت، فقط باید زبان علامت را به کار
برد که هنوز بوسیله تصورات مبهم فضا و زمان و پیوستگی که منشأ آنها ذوق و
فطرت است، و استدلال محض را تیره و پیچیده میکند آلوده نشده است.فقط از
این راه است که میتوان امید داشت که ریاضیات بر پایه محکمی از منطق استوار
شود.
این جریانی بود که از پئانوی ایتالیایی شروع و توسط وایتهدو راسل به آن
دامن زده شد و در نهایت بوسیله دیوید هیلبرت که پایه گذار مکتب صوری گرایی
است، تکمیل گردید.در این دیدگاه قصد بر این بود که ریاضیات تجدید بنا گردد و
با مفروضات اساسی و روشن و با بکار بردن دقیق منطق، محلی برای ابهامهایی
که از زبان بشری غیر قابل تفکیکاند، باقی نگذارد. (8)
طرفداران این دیدگاه بر این اعتقادند که هیچ شئ ریاضی واقعی و حقیقی وجود
ندارد، وجود اشیاء ریاضی ساخته و پرداخته ذهن ریاضیدانان است.مفهوم نقطه،
خط، عدد، عدد اول، پیوستگی و نظایر آنها، همه و همه ساخته ذهن آدمیاند و
تنها در ذهن او جای دارند.خطی که بر تخته سیاه رسم میکنیم یک خط فیزیکی
است، زیرا که عرض دارد.خط ریاضی را هیچ کس ندیده است.مفهوم 2 سیب چیزی غیر
از عدد 2 است.عدد 2 را تاکنون هیچ کس ملاقات نکرده است.فرمولهای ریاضی خود
در باب چیزی نیستند و دارای محتوا نمیباشند، بلکه رشتههایی از نمادها و
علایم هستند و شکلی صوری و ظاهری دارند، همانند قالبی میمانند که فاقد
محتوا میباشد.
از نظر صورت گرایان، ریاضیات علم استدلال منطقی است.هر چیزی که در ریاضیات
میتوان ادعا کرد این است که قضایا بصورتی منطقی از اصول موضوعه نتیجه
میشوند، بنابراین قضایا مبری از خطا و نگرانی هستند، زیرا فرآیند برهانها و
استدلالها هیچ رخنه و نقصی را باقی نمیگذارند.
از نظر این مکتب برای مثال هندسه، یک ساختار استدلالی دارد، نه ساختار
توصیفی.در هندسه نباید از تصاویر و دیاگرامها استفاده کرد. (9) به عبارت
کلیتر میتوان گفت در واقع ما در فعالیت ریاضی خود با مجموعهای از
نمادهای«بیمعنی»و بیمحتوا سر و کار داریم و ریاضیات طوری قالبریزی شده
که مدعی هیچ چیزی نیست، بلکه فقط طرح مجردی است که دارای ساختار معینی
میباشد. (10)
در این دیدگاه ریاضیات علم نیست، زیرا موضوع مادی مورد مطالعه ندارد،
مفروضاتی شهودی و بینشی ندارد تا بتواند به آنها تعبیری بدهد.ریاضیات یک
زبان است.ریاضیات وسیله فرمولبندی کردن و توسعه نظریههای علمی
است.فرمالیسم ریاضی عنوانی است که به نظریه هیلبرت داده شده است، چرا که در
فرمالیسم تکیه بر جنبه صوری ریاضیات در مقابل معنی یا محتواست و کما بیش
مبتنی بر انکار محتوا برای فرمولهای ریاضی است.
هیلبرت اساسا سعی داشت تا ریاضیات را بر پایههای صرفا صوری واصل موضوعی
استوار سازد.در این دیدگاه، صدق یک نظریه ریاضی بدین معنی است که آن نظریه
تناقضی به بار نیاورد و منجر به تناقض نگردد. (11) صورت گرایان بر خلاف
منطق گرایان بنیاد ریاضیات را نه در منطق، بلکه صرفا در مجموعهای از
نمادهای صوری میدانند، آنگاه ریاضیات را یک نظام صوری متشکل از احکام
ریاضی که تنهادارای صورت هستند، میانگارند.
4-شهود گرایی"intuitionalism"
شهود گرایی، بعنوان یک مکتب در حدود سال 1908 وسط ریاضیدان هلندی ل.ا.ی
براور مطرح شد، لیکن برخی از مفاهیم شهودگرایانه قبلا توسط کسانی چون
کرونکر(در سال 1880)و پوانکاره(در سالهای 1902-1906)ابراز شده بود.این مکتب
با گذشت زمان تدریجا تقویت شده و برخی از ریاضیدانان برجسته به این مکتب
گرایش یافتهاند.
بر اساس نظر شهودگرایی، در زیربنای ریاضیات یک شهود اولیه قرار دارد.در
واقع پدیدار بنیادی در تفکر ریاضی ادراک شهودی این مطلب ساده است که دو
یکی، دوتا است.این شهود، شهود اساسی و ریشهای در ریاضی است که نه تنها
اعداد یک و دو، بلکه کلیه اعداد ترتیبی متناهی را خلق میکند.
ریاضیات در این مکتب یک فعالیت ذهنی است که حاصل آن کشف حقایق است.حقایقی
که مستقل از اندیشه وجود دارند.لیکن شهودگرایی با اندیشههای افلاطونی در
باب ریاضیات کاملا متفاوت است، به این معنی که شهود گرایان در وصف یک وجود
ریاضی بگونهای که مستقل از اندیشه خود آنها باشد حرفی نمیزنند، یعنی
مانند افلاطون گرایی وجودی متعالی برای اعداد صحیح و یا هر شئ ریاضی قائل
نیستند.هر چند که این امر میتواند درست باشد که هر اندیشه به موضوعی که
مستقل از آن اندیشه وجود آن متصور است، مربوط میشود. (12) در این دیدگاه
چیزی حقیقی است که از طریق ریاضی اثباتپذیر باشد. (13)
شهود یا معرفت شهودی در این دیدگاه بدین معنی است که اگر مفاهیم بنیادی که
در توصیف مدلها و دستگاههای ریاضی بکار میروند، «واضح»و«متمایز» باشند
آنگاه شهودیاند، یعنی معرفت شهودی را تأمین میکنند، ما در شهود دنبال
وضوح ظاهری مفاهیم مقدماتی هستیم. (14)
در خصوص دیگر ویژگیهای این مکتب باید افزود در کتاب اصول ریاضی راسل و
وایتهد، قانون طرد شق ثالث یا ارتفاع نقیضین با قانون تناقض معادل هم تلقی
شدهاند، لیکن برای شهود گرایان چنین وضعی حاکم نیست و آنها این دو را
معادل هم نمیدانند و بر این اساس ارتفاع نقیضین را در شرایط خاصی ممکن
میدانند.
شهودگرایان بر اساس نظریات خود دست به ایجاد منطق خاص خود زدهاند.این کار
در سال 1930 توسط ا.هیتینگ انجام گرفت و او موفق به بسط یک منطق علامتی
شهودگرا گردید.بدین ترتیب ریاضیات شهودگرایی منطق خاص خود را بوجود آورده و
در نتیجه منطق ریاضی در نظر این مکتب شاخهای از ریاضیات محسوب میشود،
(بر خلاف نظر منطق گرایان که ریاضیات را شاخهای از منطق بشمار میآورند).
(15)
5-واقعگرایی"realism" *
منظور از مکتب واقعگرایی آراء و نظریات متفکران اسلامی، در خصوص مسائلی
است که در فلسفه ریاضی مطرح میباشند.در این نوشتار سعی بر این است که تنها
بخشی از نظرات ایشان و آن هم بصورت کلی مطرح گردد.از نظر این مکتب ریاضیات
در عین حال که علمی مستقل و اصیل است، در تحصیل علوم دیگر مانند فیزیک و
شیمی و...نیز بکار میآید و نسبت به آنها در حکم آلت و وسیله است. (16)
به عبارت دیگر ریاضیات را میتوان دانشی دو حیثیتی دانست، به یک اعتبار
دانشی است با موضوع و روش و مبادی خاصی که از این جهت با علوم دیگر دو حوزه
کاملا متمایز را میسازند.از این دیدگاه علوم ریاضی دانشی مستقل میباشد،
اما از یک جهت دیگر همین دانش مستقل ابزار علوم و وسیلهای است که نیازهای
علوم دیگر را برآورده و مشکلاتشان را پاسخ میگوید، علوم تجربی نیازمند
محاسبه، احصاء، آمار، بررسی احتمالات و...هستند و رفع این نیاز از ریاضیات
ساخته است و از همین طریق ریاضیات (*)این اصطلاح برگرفته از عنوان
کتاب«اصول فلسفه و روش رئالیسم»علامه طباطبائی است. اتقان و قطعیت و قدرت
پیشبینی و هماهنگی را به علوم تجربی اهدا میکند.
ریاضیات نه تنها برای علوم جنبه ابزاری دارد، بلکه بخشی از آن میتواند
نسبت به بخش دیگر حیثیت آلی و ابزاری داشته باشد.مثلا مباحث لگاریتم که
شاخهای از ریاضیات است، اساسا برای سهولت محاسبات ریاضی تدوین گشته
است.قدرت لگاریتم بعنوان یک ابزار محاسباتی در این است که به کمک آن ضرب و
تقسیم به اعمال سادهتر جمع و تفریق تجزیه میشوند. (17)
ریاضیات علمی مستقل از منطق بشمار میآید، نه منطق را میتوان شاخهای از
ریاضیات دانست و نه ریاضیات را میتوان شاخهای از منطق قلمداد نمود.
مفاهیم و گزارههای منطقی اساس هیچ کاربرد بالقوهای در خارج ندارد، ولی
قضایای ریاضی امکان کاربردپذیری را بصورت بالقوه دارند.قرابت و نزدیکی
ریاضیات و منطق از جهت اشتراک در برخی ویژگیها از قبیل صوری بودن هر دو علم
است، نه از جهت تحویل یا تجزیهپذیری این دو علم نسبت به همدیگر.اینشتین
در خصوص رابطه منطق با عالم خارج بیان در خور توجهی دارد که مؤید این نظرات
است.او میگوید:«اندیشه منطقی صرف نمیتواند به شناختی نسبت به جهان تجربی
بیانجامد.احکامی که از راههای صرفا منطقی بدست میآید از دیدگاه واقعیت
کاملا تهی است». (18)
از دیدگاه این مکتب قضایای ریاضی، قضایای شرطیه متصله هستند.به این معنی که
مثلا هنگامی که اقلیدس میگوید:«مجموع زوایای یک مثلث ^180 است.»و در واقع
مواد او آن است که«اگر فضا مستوی باشد آنگاه مجموع زوایای یک مثلث ^180
است»همه قضایای دیگر هندسه نیز چنیناند، یعنی در واقع از نوع قضایای شرطیه
متصله هستند.
از نظر این دیدگاه، صادق یا کاذب بودن قضایای ریاضی بر اساس ملاک صدق و کذب
گزارههای شرطیه متصله تعیین میگردد.به این معنی که صادق بودن و یا کاذب
بودن قضایای شرطی بستگی به صدق یا کذب دو جزء قضیه ندارد، بلکه مربوط به
مطابقت داشتن یا نداشتن«اتصال دو جزء»قضیه با واقع میباشد.مثلا قضیه
شرطیه«اگر عدد دو فرد باشد، مجذور آن هم فرد است»را در نظر میگیریم.
این قضیه بیشک صادق است و حال آنکه جزءهای اول و دوم آن هر دو کاذب
هستند.یعنی هم«عدد دو فرد است»کاذب است و هم«مجذور عدد دو فرد است»کاذب
میباشد.صادق بودن قضیه مذکور از آنجا ناشی میشود که در ریاضیات به اثبات
رسیده است که«مجذور هر عدد فردی، فرد خواهد بود»و چون چنین است پس ارتباط و
اتصالی که میان دو جزء قضیه(مقدم و تالی)برقرار شده است، با عالم واقع
مطابقت دارد.پس نظر در صدق و کذب قضایای شرطیه به این است که آیا پیوندی که
میان تقدم(اگر عدد دو فرد باشد)و تالی(مجذور آن هم فرد است) لحاظ شده است،
با نفس الامر مطابقت دارد یا نه؟
به تعبیر دیگر آیا به جهت منطقی مقدم، تالی را الزاما بدنبال دارد یا
ندارد.بنابراین برای صادق بودن قضیه شرطیه«اگر فضا مستوی باشد(مقدم)، آنگاه
مجموع زوایای یک مثلث o180 است(تالی)، نباید الزاما مقدم صادق باشد، بلکه
اگر بتوان ثابت کرد که از«فرض»مستوی بودن فضا منطقا نتیجه میشود که مجموع
زوایای مثلث o180 است، صدق قضیه شرطیه به ثبوت رسیده است و این همان کاری
است که اقلیدس به انجام رسانده است.حال اگر فضا مستوی هم نباشد این قضایا
صادق هستند، مثلا فضا دارای انحنای مثبت یا منفی باشد.و رمز این سازگاری هم
در این است که اساسا ریاضیات رابطه مستقیمی با عالم خارج ندارد.
قضایای ریاضی اساسا جز ذهن موطن و جایگاه دیگری ندارند. (19) در عین حال که
امکان کابرد در عالم خارج را دارند.بدین صورت که اگر در فیزیک اثبات شود
که جهان خارج یک جهان مسطح و مستوی است، آنگاه فرمولهای ریاضی میتوانند
در چنین جهانی به کار آیند و نتایج و لوازم خاص خود را بدنبال داشته و موجب
کشف برخی حقایق و انجام برخی پیشبینیها گردند.
باید گفت علت کاربردپذیری ریاضیات را در خارج باید در ویژگی خاص مفاهیم
ریاضی جست.چرا که مفاهیم ریاضی از سنخ مفاهیم منطقی یا معقولات ثانی منطقی
نمیباشند.بلکه از نوع مفاهیم فلسفی یا معقولات ثانی فلسفی قلمداد میشوند
که عروض آنها در ذهن است، لیکن اتصاف آنها در خارج میباشد.
یادداشتها
(1)-مجله نشر ریاضی، سال چهارم، شماره 1 و 2، مرداد 70، مقاله تجربه ریاضی، فیلیپ دیویس و روبی هرش، ترجمه رضا کرمی.
(2)-تاریخ ریاضیات ج 2، ایوز وهاورد، ترجمه محمد قاسم وحیدی، ص 321.
(3)-فلسفه ریاضی، جمعی از نویسندگان، حسین ضیایی، ص 13.
(4)-تاریخ ریاضیات، ج 2، ص 321 به بعد.
(5)-فلسفه ریاضی، مقاله کارناپ، ص 30-32.
(6)-جنگ ریاضی، سال 1366، شماره 1، ص 13.
(7)-تاریخ ریاضیات، ج 2، ص 321 به بعد.
(8)-عدد زبان علم، توبیاس دانتزیک، ترجمه مهندس عباس گرمان، ص 128، 129.
(9)-مجله رشد آموزش ریاضی، سال هشتم، شماره 29، مقاله آشنایی با فلسفههای ریاضی، دکتر محمد حسن بیژن نژاد، ص 40، 41.
(10)-برهان گودل، ناگل و نیومن و تارسکی، ترجمه محمد اردشیر، ص 35-37.
(11)-فرهنگ مصاحب، دکتر مصاحب، ج 2، بخش 1، ص 1945، 1946.
(12)-فلسفه ریاضی، ص 22.
(13)-فرهنگ، کتاب دوم و سوم، مقاله مدل و صورت منطقی، آقای ح.وحید، ص 587.
(14)-برهان گودل، ص 33.
(15)-تاریخ ریاضیات، ج 2، ص 325.
(16)-منطق صوری، محمد خوانساری، ص 49.
(17)-فقر تاریخی نگری، عطاء الله کریمی، ص 245 و 246.
(18)-فیزیک و واقعیت، آلبرت اینشتین، محمد رضا خواجهپور، ص 24.
(19)-نقدی فشرده بر مارکسیزم، مصباح یزدی، ص 85-94.
