هندسه اقلیدسی

هدف اعضای حلقه وین این بود که انقلابهایی را که در حوزه های دیگر دانش بشری از قبیل فیزیک ، منطق ، هندسه و ... رخ داده بود وارد فلسفه کنند . هندسه حوزه ای از معرفت بشری است که پس ازگذشت 20 قرن از ابداع آن دچار تحول اساسی شده است . هدف این نوشته بررسی ساختار هندسه اقلیدسی و دلیل اهمیت آن است تا سر آغازی برای بحث درباره هندسه های نا اقلیدسی باشد .

واژه هندسه از دو واژه یونانی "ژئو " به معنای زمین و "متراین " به معنای اندازه گیری آمده است . روش اقلیدس در کتاب 13 جلدی خود به نام اصول روش اصل موضوعی است . به این معنا که با استفاده از چند اصل و فرض گرفتن چند مفهوم اولیه به اثبات درستی قضایا و نتایج پرداخته می شود . برای اینکه بتوان در روش اصل موضوعی درستی برهانی را پذیرفت اولا باید برروی اصول موضوعه و ثانیا برروی قواعد استنتاج ، توافق وجود داشته باشد . کار عظیم اقلیدس این بود که از چند اصل ساده ، 465 گزاره نتیجه گرفت . و یک دلیل بر زیبایی " اصول " اقلیدس همین است که همه آن را از اصولی اندک نتیجه گرفته است .

  اقلیدس  همه سعی خود را کرد که تمامی اصطلاحات هندسی را تعریف کند. اما این کار به فهمیدن بیشتر کمک نمی کند و دور یا تسلسل لازم می آید ( دور در تعریف ، دور بی خطری نیست . )مثلا سعی می کند خط مستقیم را اینگونه تعریف کند :  خطی که به نحوی هموار بر نقاطی که بر آن هستند قرار داشته باشد . این تعریف خوبی نیست چون باید برای فهمیدن آن ، قبلا تصوری از خط داشته باشید . پس یک سری اصطلاحات بعنوان اصطلاحات تعریف نشده در نظر گرفته می شوند :

 

 

نقطه

خط

قرار دارند بر

میان ( مثلا نقطه A میان دو نقطه دیگر است )

قابلیت انطباق

 
 ( فراهم آوردن این لیست ، از کارهای هیلبرت است .)

 

 

اقلیدس هندسه خود را بر 5 اصل بنا می نهد :

 

1-    از هر دو نقطه متمایز ، یک و فقط یک خط می گذرد .

2-    هر پاره خط AB را می توان به اندازه پاره خط BE که با پاره خط CD قابل انطباق است ادامه داد .

3-    به ازای هر نقطه و هر پاره خط دلخواه ، دایره ای به مرکز آن نقطه وشعاع مذکور وجود دارد .

4-    همه زوایای قائمه با هم برابرند .

5-    اصل توازی :

چهار اصل اول همواره مورد توافق ریاضیدانان بوده اند .  اما اصل توازی تا قرن 19 مورد بحث و جدل فراوان قرار گرفته است . تلاش برای اثبات آن و ارائه صورتهای مختلفی از آن صور ت گرفته است . که همین تلاشها باعث ایجاد و بسط هندسه های نااقلیدسی شده است .

تعریف (توازی ):

دو خط با هم موازی اند هرگاه همدیگر را نبرند ، یعنی نقطه ای پیدا نشود که بر هر دو خط واقع باشد .

اصل توازی : به ازای هر خط و هر نقطه غیر واقع برآن یک و تنها یک خط به موازات خط مذکور وجود دارد که از نقطه مورد نظر می گذرد .

 

اگر ما اصول هندسه را انتزاعهایی از تجربه بدانیم بلافاصله تفاوت این اصل و چهار اصل دیگر مشخص می شود . به هیچ وجه نمی توانیم به طور تجربی تحقیق کنیم که آیا دو خط همدیگر را می برند یا نه .

 

معادلهای اصل 5 :

 

اگر یک خط ، دو خط موازی را قطع کند همه زوایای حاده بوجود امده باهم و همه زوایای منفرجه به وجود آمده باهم مساوی اند .

مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجه است .

اگر خطی یک خط موازی را ببرد دیگری را هم می برد.

هرگاه خطی بر یک خط موازی عمود شود بر دیگری نیز عمود می شود .

هرگاه k و l دو خط موازی باشند و m بر k عمود باشد و n بر l عمود باشد آنگاه یا m=n یا m با n موازی است .

 

خود اقلیدس اصل توازی را اینگونه بیان کرده است :

هرگاه خط راستی دو خط راست دیگر را ببرد و مجموع زوایای درونی یک طرف آن خط از دو قائمه کمتر باشد  اگر این خط را امتداد دهیم سر انجام در همان طرفی که مجموع زوایا کمتر از دو قائمه است یکدیگر را می برند .

 

اگر بخواهیم در "اصول " اقلیدس با دیده انتقادی بنگریم متوجه می شویم بسیاری از پیش فرضهای خود را بیان نکرده است از جمله اینکه خط و نقطه وجود دارند ، همه نقطه ها بر یک امتداد نیستند . و هر خط دست کم دو نقطه دارد .

پرداختن به این نکات توسط ریاضیدانان متفاوتی صورت گرفته که شهودی ترین آنها هیلبرت است . هیلبرت معتقد است که چون هیچ یک از خواص نقطه ، خط و صفحه غیر از خواصی که توسط اصول به آنها داده می شوند نمی تواند در استدلالها استفاده شود پس می توانید به هر نامی اینها را نام گذاری کنید هیلبرت خودش می گوید :"آدمی باید همیشه به جای نقطه و خط و صفحه بتواند میز ، صندلی و آبجو بگوید . "

تلاشهای بسیاری برای اثبات این اصل صورت می گیرد که خواجه نصیرالدین طوسی مهمترین آنهاست .

برای اثبات این اصل به اصلی به نام اصل والیس متوسل شده اند که بعدها ثابت می شود همان اصل توازی است : برای هر مثلث دلخواه وهر پاره خط دلخواه، می توان مثلثی روی آن پاره خط بناکرد که متشابه با مثلث اول است .

افرادی به نام لژاندر و بویوئی سعی می کنند اصل را ثابت کنند که بعدها اثبات می شود براهین آنها نادرستند. فرد دیگری به نام ساکری( 1667-1733) که یک کشیش بوده است سعی می کند از نقیض اصل توازی به تناقض برسد وبنابراین با استفاده از برهان خلف درستی آن را ثابت کند  .

ساکری چهارضلعی هایی را مورد بررسی قرار داد که دو زاویه آنها قائمه اندو دو زاویه بالا صرفا قابل انطباق بر یکدیگرند . در این صورت سه حالت پیش می آید :

1-    زاویه های بالایی قائمه اند

2-    زاویه های بالایی  منفرجه اند

3-    زاویه های بالایی حاده اند

کوشید تا نشان دهد 2 و 3 به تناقض می رسند . پس 1 درست است و بنابراین اصل توازی برقرار است .

در مورد زوایای منفرجه به تناقض رسید . اما در مورد زوایای حاده هرچه کوشید نتوانست تناقض بدست بیاورد و آن را "فرض خصمانه زاویه حاده " نامید و موفق شد نتایج بسیار عجیبی بدست آورد اما همه چیز غیر از تناقض ! ساکری می گفت " فرض زاویه حاده مطلقا غلط است چون با ذات خط مستقیم ناسازگار می آید " غافل ا ز اینکه هندسه نا اقلیدسی را کشف کرده است در نهایت کتابی را با عنوان "هندسه اقلیدس عاری از هرگونه نقص " چاپ کرد .

تا آن زمان تلاش برای اثبات اصل پنجم به قدری زیاد بود که فردی برای رساله دکتری  خود در 1763نقایص 28 برهان از آنها را جمع کرده بود و دایره المعارف نویس بزرگ ریاضی دالامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید . ( این وضع خیلی به زمان بحران  کوهنی شبیه است . ) ریاضیدانان ، رفته رفته نومید می شدند  .

بویوئی به پسرش نوشت :

" تو نباید برای گام نهادن در راه توازیها تلاش کنی . من پیچ وخمهای این راه را از اول تا آخر آن می شناسم ، این شب بی پایان که همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است سپری کرده ام .  التماس می کنم که دانش موازیها را رها کنی ...."

بویوئی جوان از اخطار پدر نترسید و در مقابل فکر تازه ای به نظرش رسید اینکه نقیض حکم اقلیدس ، حکمی بیمعنی نیست . و برای پدرش نوشت :

فکر می کنم از هیچ ، دنیایی تازه  و شگفت انگیز ساخته ام ..."

 

در ادامه به بررسی این دنیای تازه و شگفت انگیز می پردازیم .

 

در تاریخ کشف هندسه نااقلیدسی می توان الگوهای فلسفه علمی بسیاری دید از جمله تلاش دانشمندان یک علم برای اثبات قضایا و هضم اعوجاجات در چارچوب پارادایم حاکم ، وفاداری به پارادایم حتی تا قرنها ،  پیدایش بحران ، ارائه نظریه رقیب و در نهایت پیروزی انقلاب ، مقایسه ناپذیری پارادایم ها و .........

در نوشته بعدی به کشف هندسه نا اقلیدسی خواهم پرداخت .

منبع :

هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی ، ماروین جی گرینبرگ ، ترجمه شفیعیها ، مرکز نشر دانشگاهی